Головна

Шкільна бібліотека

Перелік предметів

Англійська мова
Біологія
Географія
Економіка
Інформатика
Історія
Математика
Німецька мова
ОБЖ
Політологія
Право
Природознавство
Психологія і педагогіка
Російська мова
Соціологія
Фізика
Філософія
Французька мова
Українська мова
Хімія

Підручники в PDF


 

Геометрія

Приклади розв’язування типових задач з геометрії для найпростіших фігур

Треба добре розуміти: коли ми доводимо тео­ре­му або розв’язуємо задачу, кожне твердження треба обґрунтувати, тобто показати, що воно випливає з якої-небудь аксіоми чи раніше доведеної теореми. Якщо ви спираєтеся на якусь теорему, ретельно перевірте, чи повністю виконано її умову. Наприклад, при застосуванні першої ознаки рівності трикутників перевірте, чи дійсно даний кут лежить між даними сторонами, і т. д. Не можна у своїх міркуваннях спиратися тільки на рисунок, проте грамотно виконаний рисунок сприяє розв’язанню задачі. Також корисним є чіткий запис умови і того, що треба знайти або до­вести.
Задача на ознаки рівності трикутників
Задача. На рисунку ; .
Довести, що .

Доведення:
(Зверніть увагу: дані кути не є кутами трикутників, що розглядаються.)
1) як вертикальні з рівними кутами ( і відповідно).
2) Розглянемо і .
за доведеним;
як вертикальні;
за умовою.
Отже, за стороною й двома прилеглими до неї кутами.
Задача на рівнобедрений трикутник
Задача. На рисунку ; . Довести, що — рівнобе­дрений.

Доведення:
1) як суміжні з рівними між собою кутами і .
2) Розглянемо : , значить, за ознакою рівнобедреного трикутника.
3) Розглянемо і : AD = CF за умовою; за доведеним; за доведеним.
Значить, за першою ознакою рівності трикутників (за двома сторонами та кутом між ними).
4) як відповідні елементи рівних трикутників.
Отже, — рівнобедрений трикутник за означенням.
Задача на паралельність прямих
Задача. На рисунку ;
. Знайти: .

Розв’язання
1) , значить, за ознакою паралельних прямих, оскільки і є зовніш­німи різносторонніми при прямих a, b і січній c.
2) і є внутрішніми односторонніми при і січній c. Значить, за властивістю паралельних прямих. Отже, .
Задача на суму кутів трикутника
Задача. Один із кутів трикутника дорівнює . Висота та бісектриса, проведені з вершини цього кута, утворюють кут . Знайдіть невідомі кути трикутника.
Розв’язання.
Нехай у ; BN — висота (); BL — бісектриса ; (див. рисунок).
Знайти: , .

1) BL — бісектриса за умовою. Значить, .
2) за аксіомою вимірювання кутів.
3) Розглянемо : за умовою; за доведеним; за властивістю гострих кутів прямокутного трикут­ника.
4) Розглянемо : за умовою; за доведеним; за теоремою про суму кутів трикутника.
Відповідь: ; .
Задача на коло
Задача. На рисунку пряма a дотикається до кола в точці B. Знайти , якщо .

Розв’язання
1) OB — радіус, проведений у точку дотику.
Значить, за означенням дотичної: .
2) за аксіомою вимірювання кутів.
3) Розглянемо : рівно­­бедрений, бо як радіуси одного кола; це означає, що як кути при основі рівнобедреного трикутника.
4) за теоремою про суму кутів трикутника.
Відповідь: .
Додаткова побудова
У багатьох задачах для успішного розв’язання треба увести деякий елемент, якого не було в умові,— зробити додаткову побу­дову.
Задача 1. На рисунку ; .
Довести, що .
Доведення:
1) Додаткова побудова: DF.

2) Розглянемо і : DM = = DE за умовою; MF = EF за умовою; DF — спільна. Значить, за трьома сторонами.
3) як відповідні елементи в рівних трикутниках.
Дуже корисною є додаткова побудова в багатьох задачах, пов’язаних із поняттям медіани трикутника.
Задача 2. Доведіть, що трикутник рівнобедрений, якщо у нього бісектриса є медіаною.
Доведення:
Нехай у BD — бісектриса ;
BD — медіана (див. рисунок).
Довести, що .

1) Додаткова побудова: продовжимо медіану BD на відрізок такої ж довжини — DF і з’єднаємо точку F з точкою C.
(Зверніть увагу: це стандартна додат кова побудова у задачах на медіану.)
2) Розглянемо і : за умовою; як вертикальні; за побудовою; Значить, за першою ознакою.
3) ; як відповідні елементи в рівних трикутниках.
4) Розглянемо : за умовою (BD — бісектриса); , значить, за ознакою рівнобедреного трикутника.
5) CF = AB; CF = BC, значить, , що й треба було довести.
Задача 3. Висота і медіана, які проведені з однієї вершини трикутника, поділяють його кут на три рівні частини. Знайдіть кути трикутника.
Розв’язання
Нехай у (див. рисунок) ; .
.
Знайти ; ; .

1) Додаткова побудова: .
2) Розглянемо і AOD: AD — спільна; за умовою; за умовою.
Значить, за другою ознакою. як відповідні елементи в рівних трикутниках.
3) Розглянемо і AOM: АО — спільна. за умовою; за умовою.
Значить, за теоремою про суму кутів трикутника. за другою ознакою. Значить, як відповідні елементи в рівних трикутниках.
4) Враховуючи, що АО — медіана  ABC, отримуємо .
5) Розглянемо прямокутний : , значить, .
6) прямокутний ;
, значить, .
7) ; .
Назад Зміст Вперед

 

 
© www.SchoolLib.com.ua